베이즈 역확률의 패러독스 문제

베이즈 역확률의 패러독스 문제

 

 

문제

 

세개의 커튼 A,B,C가 있다. 이 세 커튼 중 어느 하나의 뒤에 자동차가 숨겨져 있다. 당신이 이 세 커튼 중 하나를 골라 그곳에 자동차가 숨겨져 있다면, 그 자동차를 상품으로 받을 수 있다.

 

 

그래서 나는 A를 선택했다. 그러자 사회자는 선택되지 않은 커튼 B, C 중 B를 열어보면서, "여기에는 자동차가 없습니다."라고 말했다. 그리고 "남은 커튼은 당신이 선택한 A와 C 2개입니다. 선택을 바꿀 수 있는 기회를 드리겠습니다."

 

 

 

"바꾸시겠습니까?"

 

 

 

사고법 1. 

자동차가 있는 커튼은 커튼 A와 커튼 C 둘 중 하나가 될 것이므로 확률은 반반(1/2)이다. 따라서 A에 자동차가 숨겨져 있을 확률은 1/3에서 1/2로 상승한다.

 

 

사고법 2.

커튼 B에 자동차가 없다는 사실을 알아도, 커튼 A에 자동차가 있을 확률은 달라지지 않는다. 따라서 확률은 그대로1/3이다. 이것은 커튼 C에 자동차가 있을 확률이 1/3에서 2/3으로 상승한것이다. 따라서 선택을 C로 바꿔야한다.

 

 

 

 

베이즈 추정

사고법 1과 사고법2 중 무엇이 맞을까?

이 문제를 베이즈 추정으로 접근해볼 수 있다.

khann.tistory.com/107

베이즈추정의 기본(코로나 백신으로 이해하는)

먼저 베이즈 추정의 프로세스는

1.사전확률 설정 -> 2.행동에 따른 조건부 확률 설정 -> 3.가능성이 없는 세계 소거 -> 4. 확률의 정규화 이다.

 

 

 

 

1. 사전확률 설정

커튼이 3개 있으므로 세가지 가능 세계로 분기하고, 사전확률은 모두 대등하게 1/3으로 설정한다.(이유 불충분 원리)

 

 

2. 조건부확률 설정

참가자가 A를 선택했을때,

사회자는 자동차가 존재하는 위치에 따라서 아래와 같은 프로세스로 커튼을 오픈할 것이다.

 

IF 자동차 = A:

    커튼 오픈 B or C;      // 참가자는 A를 선택했고, A에는 자동차가 있으므로 B 또는 C를 오픈

ELSE IF 자동차 = B:

    커튼 오픈 C;            // 참가자는 A를 선택했고, B에는 자동차가 있으므로 C를 오픈

ELSE IF 자동차 = C:

    커튼 오픈 B;            // 참가자는 A를 선택했고, C에는 자동차가 있으므로 B를 오픈

 

 

 

 

 

3. 가능성이 없는 세계 소거

위 2의 가능성에서 사회자는 B 커튼을 열었다. 그리고 그 B에 자동차가 없음을 알게 되었다. 즉 C를 열지 않았으므로 가능성이 없는 세계는 소멸된다.

 

 

4. 확률의 정규화

자동차가 A에 있을 사후확률과 자동차가 C에 있을 사후확률을 구하면

 

1/3 * 1/2 : 1/3

= 1 : 2

= 1/3 : 2/3

 

으로 C에 자동차가 존재할 확률이 높으므로 선택을 바꾸는 편이 좋다는 결론이 나온다.

 

 

 

 

역설

그러나,

이 문제는 역설이다. 위의 결과는 모델의 설정에 의존해 있다. 즉 사회자가 연 커튼에 대한 조건부 확률의 설정에 계산한 사람의 자의성이 포함되어있다.

 

 

위의 문제에서 A를 선택했을 때, B 또는 C를 연다고 설정했는데, 만약 사회자가 어디에 자동차가 있을 때 어느 커튼을 열 것인가 미리 사전에 정의해 두었다면 어떻게 될까?

 

 

 

참가자가 A를 선택했고, 자동차가 A에 있을 때 B 또는 C를 오픈하는게 아니라, 이런 경우 무조건 B를 오픈한다. 이렇게 말이다.

 

 

그렇다면 위의 조건부확률은 아래처럼 될 것이다.

 

위의 조건부확률을 적용해서 베이즈 확률을 계속 계산해서 가능성이 없는 세계를 소거해보면,

 

위 결과를 정규화 해보면 양쪽이 모두 대등하무로 1/2 확률이 된다. 

 

 

 

 

결론

확률 현상의 원리를 어떻게 상상할 것인가 하는 주관에 의존하므로 모델을 어떻게 설정하냐에 따라 결론이 달라진다.

확률적 추론에서는 올바른 추론이라는 것이 존재하지 않는다.

 

베이즈통계 뿐만 아니라 표준통계학(네이만-피어슨 통계학)도..

 

 

출처 : 세상에서 가장쉬운 베이즈 통계학 입문 책